sum

$\sum$ sigma

$\sum$ 是求和符号，发音是[‘sɪgmə]，英文里叫sum。求和符号是对求和内容的简写，并不是运算。又一人类为了偷懒的产物
$$\sum_{B}^{A}C$$

A: 求和上限

B: 求和下限 or 所求和的数的特征或性质

C: 求和内容

常见的例子 $\sum_{i=1}^{n}a_i$ ，表示从 $i = 1$ 开始取值，取到 $n$ 为止，将所有的数相加，

即 $$\sum_{i=1}^{n}a_i = a_1 + a_2 + a_3 + … + a_n$$

接下来看下面这些例子：

$$\sum_{i=1}^{n}a_i = \sum_{j=1}^{n}b_j = \sum_{k=1}^{n}c_k$$

$$\sum_{i=1}^{4}a_i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 30$$

$$\sum_{i=1}^{666}1 = 666$$

可以看出，$\sum$ 符号内的字母可以是任意的，求和内容也可以是常数，

另外的，当上限为无限是，它就有了个新名称：无穷级数：$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$

下面介绍其它几种常用表示方法：

• 集合表示

为了更加偷懒，于是有了集合表示。例如 $A$ = {所有偶数} ，那么所有偶数的和为 $\sum_{n\in A} n$

即 $$\sum_{n\in A}n = \sum_{n=0}^{\infty}2n$$

若 $N$ = {自然数}，那么所有自然数的倒数和为 $$\sum_{n \in N}n^{-1} = \sum_{i=1}^{\infty}n_{i}^{-1} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + …$$

• 整数表示

常在数论中出现，所以不细谈

在数论中, $d\mid n$ 表示 $d$ 能整除 $n$ ，则 $\sum_{d\mid n}d$ 表示 $d$ 的所有因数和

• 范围表示

比较好理解，给你一个式子就懂了

$$\sum_{1\le i \le 4}a_i = \sum_{i=1}^{4}a_i = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$$

当然，求和变量可以有多个，例如

$$\sum_{1\le n, m\le 2}f(n, m) = f(1, 1) + f(1, 2) + f(2, 1) + f(2, 2)$$

• 描述表示

把集合表示中的例子改一改就是描述表示，适用于比较复杂的一类数，或自定义类型的数，例如

$$\sum_{n是自然数}n^{-1} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + …$$

• 双求和及多求和表示

类似多个变量求和，例如：

$$\sum_{n=1}^{2} \sum_{m=1}^{2} f(n, m) = \sum_{m=1}^{2} \sum_{n=1}^{2} f(n, m) = \sum_{1\le n, m\le 2}f(n, m) = f(1, 1) + f(1, 2) + f(2, 1) + f(2, 2)$$

$$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \sum_{k=1}^{x} \sum_{l=1}^{y} a_i b_j c_k d_l = …$$

要是求和变量太多，写成范围的形式会更好,例如：

$$\sum_{1\le x_1, x_2 .. x_8, x_9 \le 4} f(x_1, x_2 .. x_8, x_9)$$

• 轮番求和和对称求和

轮番求和

$$\sum_{cyc}a^2 b = x^2 y + y^2 z + z^2 x$$

对称求和

$$\sum_{sym}a^2 b = x^2 y + x^2 y + y^2 x + y^2 z + z^2 x + z^2 y$$

• 多种表示

可以把以上多种表示写到一起

$$\sum_{1\le n \le 20, n为素数}n = 1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19$$

首先，我不是数学脑，其次，我数学不好…….

参考文献

数学求和符号大总汇

求和符号的定义和性质

关于求和符号用法约定进一步探讨及相关应用